Punctul şi linia înlocuiesc realitatea cu ficţiunea
Timp de peste două mii de ani, omenirea a adoptat, pentru modul de înţelegere a punctului şi a liniei, varianta propusă în primele două rânduri din Elementele lui Euclid: punctul este ceea ce nu are părţi iar linia este o lungime fără lăţime (adoptăm versiunea din Dan I. Papuc, Universul matematic al civilizaţiei umane, ed. a doua, Ed. Universităţii de Vest, Timişoara, 2010, p.612). Câteva lucruri sunt de observat aici:
a) În definiţiile propuse, se acceptă tacit că noţiunea de punct este mai complexă decât aceea de parte, de vreme ce prima este explicată cu ajutorul celei de a doua; la fel, noţiunea de linie este considerată de Euclid mai complexă decât acelea de lungime şi de lăţime. Această situaţie trebuie probabil interpretată în sensul că pentru parte, lungime şi lăţime se adoptă semnificaţia lor curentă, în timp ce punctul şi linia sunt considerate aici cu o semnificaţie specială, pe care Euclid o atribuie cuvintelor în cauză.
b) Într-o lectură contemporană, folosirea cuvântului părţi ne trimite la logica parte-întreg, pe care a dezvoltat-o S. Lesniewski, în urmă cu aproape o sută de ani, în mereologia sa, în contrast cu logica element-mulţime, bazată pe relaţia de apartenenţă. Cu alte cuvinte, ideea de punct ţine de o logică a conţinuului, în contrast cu logica discretă a fenomenelor cuantificate. Limbajul cotidian reflectă această distincţie prin cuvinte ca mult şi puţin, în primul caz, mulţi, multe, puţini, puţine, în al doilea caz.
c) Aşa cum apar în prezentarea lui Euclid, punctul şi linia nu admit o reprezentare vizuală, ele sunt obiecte ale unui univers de ficţiune, ca toate celelalte obiecte care se succed în Elementele marelui grec: linie dreaptă, suprafaţă, suprafaţă plană, unghi plan, unghi rectiliniu, perpendiculară, unghi obtuz, unghi ascuţit, margine, figură, cerc etc. Nu poţi face vizibil ceva care nu are o parte, oricât de mică ar fi ea, sau ceva care nu are grosime, cât de neglijabilă ar fi ea. Situaţii ca acestea depăşesc limitele vederii umane.
Punctul şi linia legitimează greşeala în geometrie
d) Cu toate acestea, aşa cum ştim prea bine, ne-am învăţat, încă de la şcoala primară, să reprezentăm grafic obiectele enumerate mai sus. Cum se explică această aparentă contradicţie? Explicaţia este foarte simplă: reprezentările cu care lucrăm sunt greşite, sunt falsuri. Dar greşeala este suficient de mică pentru ca reprezentările să nu trădeze, deci să nu facă de nerecunoscut obiectele reprezentate; în acelaşi timp, abaterea de la descrierea propusă de Euclid este suficient de mare pentru ca să permită reprezentărilor adoptate să fie vizibile. Lucrurile devin clare dacă observăm cum reprezentăm un punct printr-un mic disc sau prin două liniuţe care se intersectează iar linia este reprezentată printr-o curbă suficient de groasă pentru a fi vizibilă. Înţelegem astfel observaţia lui Henri Poincaré (citat în acest sens de Ion Barbu-Dan Barbilian), conform căreia topologia este arta de a raţiona corect pe figuri greşite. Multe alte exemple ne stau la îndemână. Orice reprezentare vizuală a unui triunghi oarecare anulează caracterul de arbitrar al triunghiului respectiv. Arbitrarul poate fi conceput, dar nu poate fi reprezentat grafic. La fel, aleatorul şi haosul.
De la vizibil şi descriptiv la inteligibil şi analogic
e) Apare astfel un aspect esenţial al gândirii matematice: faptul că ea face inteligibile unele fenomene care se află dincolo de raza de acţiune a simţurilor şi intuiţiei noastre. Nu numai obiectele care apar la Euclid, dar toate obiectele care populează universul matematicii ţin de o lume de ficţiune iar ficţiunea este aceea care conferă rigoare şi inteligibilitate întregii desfăşurări. Alfred Renyi a comparat Elementele lui Euclid cu tragediile lui Eschil; şi la Euclid, nu numai la Eschil, avem personaje, roluri, o anumită intrigă, un conflict, un deznodământ. Dar tot acest spectacol dezlănţuit de Euclid începe cu punctul şi cu linia.
Lucrurile nu se opresc aici. Analogia este suverană la Euclid. Ceea ce se întâmplă cu punctul şi cu linia se repetă întocmai cu linia şi cu suprafaţa. Linia este faţă de suprafaţă, ceea ce punctul este faţă de linie. Suprafaţa plană preia, la un etaj superior, rolul liniei drepte: planul este, faţă de suprafaţă, ceea ce dreapta este faţă de o linie arbitrară. Tot ceea ce urmează se bazează pe analogii de obiecte şi de relaţii iar, mai târziu, pe analogii între demonstraţii, teoreme şi teorii. Se confirmă aprecierea lui Stephan Banach, mare matematician polonez: matematicianul este o persoană capabilă să facă analogii între obiecte, între relaţii, între teoreme, între teorii şi între… analogii.
Prin David Hilbert, punctul şi linia îşi schimbă statutul
S-a întâmplat în anul 1899, când David Hilbert propune o viziune nouă asupra geometriei. La Euclid, logica merge mână în mână cu observaţia şi intuiţia, de aceea el se prevalează de suportul intuitiv al reprezentărilor grafice, deşi, aşa cum am aratăt, acestea sunt falsuri. Pe de altă parte, Euclid nu ţine seama de faptul, devenit între timp clar, că în orice abordare logică riguroasă, trebuie să porneşti la drum cu un stoc de termeni primitivi, deci recunoscuţi explicit ca nedefiniţi. Aceşti termeni sunt deci consideraţi a nu putea fi descrişi prin alţii, mai simpli decât ei. Desigur, este de dorit ca numărul acestor termeni nedefiniţi să fie cât mai mic. La Euclid, astfel de termeni nu există, fapt care, într-o viziune modernă, afectează ţinuta logică a abordării sale. Nici dicţionarele curente nu se prevalează de termeni primitivi, dar natura tautologică pe care o capătă dicţionarele în acest fel trece neobservată, deoarece explicaţiile din aceste dicţionare nu pretind să furnizeze definiţii în sensul logic al acestui cuvânt, ci numai echivalenţe sinonimice. Hilbert propune o altă axiomatizare a geometriei, în care inconvenientele semnalate mai sus sunt înlăturate. Suportul vizual dispare, dar apar şapte termeni nedefiniţi: trei substantive, puncte, linii drepte, plane; două verbe: se află pe şi conţine; conjuncţia între şi epitetul congruent.
[…]